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第五百五十六章 巴拿赫－塔斯基悖论集合论（第1页）

“分球怪论”，是一条数学定理。年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基次提出这一定理。这一定理指出在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，不过要旋转不可列无穷次，可以组成两个半径和原来相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。

假设旅馆有无限个房间，把这无限个房间按照一定的分类规则分成两类，并把这两类房间分开，分别称为“旅馆a”和“旅馆b”。

除去每个房间编号的问题，那么模君请大家思考：这两个新的旅馆，和原来的“希尔伯特旅馆”有区别吗?

我们都知道答案：没有区别，两个新旅馆，和原来的旅馆一模一样，房间数一样，每个房间的大小也一样。

同样的，我们往下对“巴拿赫-塔斯基分球定理”这个“无穷”的概念做一个更深层次的理解。

一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）。

模君初看这个定理就觉得违反了人类的直觉常识，假设球体的体积或质量是一定的，通过旋转或者平移以后这些碎片的总体积或总质量应该也是不变的，拼起来后也不可能会变成=+啊，这不就是个悖论吗？

这个定理还有更强的版本描述：

一块石头经过分解，可以随意组合成任何东西，可以拼成一个星球，也可以拼成一个人，甚至藏进一个细胞之中！

有画面了吗？可以用一个石头去拼接星球，也可以去创造一个世界。

咳咳，说过了，让我们先从梦中醒来，详细地了解一下这个定理的强大与神奇。

时间回到年的一天，又是一个美好又平静的早晨。就在这个伟大的日子，两位数学家斯特凡·巴拿赫（stefanbanach）和阿尔弗雷德·塔斯基（afredtarski提出一个反常识的定理，人称“分球怪论”。

他们当时表了一篇论文来概述这个理论：

把一个三维的半径为的实心球用某种巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋转平移后可以和另外一份重合——然后把这五个分块旋转平移后，可以组合成两个半径为的实心球。

简单的说，一个球分割重组后变成了两个同样大小的球！当然了，这样的过程还可以继续下去，两个变四个，四个变八个

但当他们表了这个篇论文后，就有人一马当先开始抨击，说这显然不正确吧。

如果一个实心球体积为v（因为球的半径是，所以v>o），那么五个等分块，每块体积为v，平移旋转不改变体积，那么无论它们如何组合，最后得到的东西总体积是v，而不可能是v。

因为，这个论述是基于这么一个假设：

每一个分块都是有“体积”的。而分球定理的理论之处就在于它把球分成了五个“不可测集”——也就是五个“无法定义体积”的奇怪分块。所以，这里我们说“五等分”只是说它们其中一块平移旋转后能重合到另一块上，并不是说它们“体积相等”——因为根本就没有体积，也就没有相等之说。

其实巴拿赫-塔斯基在证明结论的时候主要用到的就是集合论中的选择公理。

通俗一点的说，选择公理可以这么描述：

用任意一组（可能有不可数无限个）非空集合，我们都可以从每个集合挑出一个元素。

看上去非常“无辜”啊——这不就是典型的“正确的废话”么——所以它被叫做“公理”。可是就是这么一个公理，却是魔力惊人，能让我们把实心球一个变俩。这就是数学的魅力！

其实数学家们一开始现这个结论也觉得这不太可能，包括塔斯基本人也是想利用这个定理来展示出选择公理中存在的某些先天不足，也就是说他们最先想责怪的就是选择公理

如果放到现在估计一大半的数学家会晕倒！因为他们学的东西里面有太多的定理都是在选择公理的基础上证明的，现在大多数数学家还是承认选择公理的。

但其实我们还忽略了一个问题:?的子集的体积该怎么定义?

回到“分球定理”中，只有那些比较漂亮的子集我们才给它们定义了体积，比如:一个球，一个立方体等等。如果是一些杂乱无章的点构成的子集，是很难定义其“体积”的。

分球悖论的奥妙之处就在于，将一个球分成几个部分的时候，很多部分都是一些“非常难看”的子集，它们是没有“体积”的也就是说最终把一个球分成了几个没有“体积”的部分，然后把它们平移、旋转后反而成了两个同等大小的球！

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