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第一百八十九章 狄利克雷边界条件问题变分法（第1页）

狄利克雷对泊松说：“加入一个巨大的铁板，铁板一个部分的温度已经固定，那么温度会传导扩散到铁板的四面八方。最后会稳定在一个值内，不会在生任何改变。如何去求各个地方的温度呢？”

泊松说：“这种热力的传导是复合偏微分方程的，所以确定热力的偏微分的分布情况即可。”

狄利克雷说：“问题就有意思在这里，这个形状有关系。如果这个铁片长度不同，那么热的分布也会不太一样，如果铁片较短，那么边缘处会稍微热一点点，如果铁片较远，那么边缘处会相对冷一些。如果铁片的长度为无限远，在无限远处会接近为最低的温度。”

泊松补充道：“接近为常温。”

狄利克雷说：“同时在机械工程和土木工程的梁理论中，梁的一端保持在空间中的固定位置。在静电中，电路的节点保持固定电压。在流体动力学中，粘性流体的防滑条件表明，在固体边界处，流体相对于边界具有零度。也属于这类问题。”

在数学中，狄利克雷边界条件，为常微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。也叫本质边界条件。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。

狄利克雷问题亦称第一边值问题，是调和函数的一类重要边值问题。

第一类边界条件，是指在热力学中，第一类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。”

此后，延伸出了第二类和第三类边界条件表述。

第二类边界条件即诺依曼边界条件，给出了在边界处解对指定函数的导数或偏导数。例如，泊松方程中的浮动边界条件，电势可以浮动，电场为零。在热力学中，第二类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧热流密度一定。”半无限大物体在导热方向上，当其一侧热流密度一定。数学描述为：qo，t=定值。

第三类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧换热系数一定，换热流体的温度一定。”半无限大物体在导热方向上，当其一侧边换热系数一定，换热流体的温度一定。数学描述为：ho，t=定值，tf=o。

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