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第一百五十章 克莱姆悖论－与线性代数的产生线性代数（第1页）

虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的crar悖论就是一个漂亮的例子。

在描述crar悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。

两条直线交于一点。

反过来，过一点可以做两条不同的直线。

事实上，过一点可以做无数条直线。

确定一条直线需要两个点才够。

一切都很正常。

现在，考虑平面上的两条三次曲线。

由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到组不同的解，因此两条三次曲线最多有个交点。另外，三次曲线的一般形式为

x+a·x·y+b·x·y+c·y+d·x+e·x·y+f·y+g·x+h·y+i=o

这里面一共有个未知系数。

代入曲线上的组不同的x，y，我们就能得出个方程，解出这个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。

也就是说，平面上的个点唯一地确定了一个三次曲线。

这次貌似就出问题了：“两条三次曲线交于个点”和“个点唯一地确定一条三次曲线”怎么可能同时成立呢？

既然这个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？

在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。

crar和euer是同一时代的两位大数学家。

他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。

上面这个问题就是年月o日crar在给euer的信中提出来的。

在信中，crar摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出个交点。

crar向euer提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？

euer心中的疑问不比crar的少。

接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。

年，euer表了一篇题为surunetedansadoesurbes（关于曲线规律中的一个明显的矛盾）的文章，尝试着解决这一难题。

正如大家所想，矛盾的源头就是，个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。

euer试图向人们解释这样一件事情：曲线上的个点虽然给出了个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那个未知数，因为有些方程是废的。

在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。

euer举了一个最简单的例子：方程组

x?y=

y=x?o

表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以再移项后就直接变成第二个方程了。

换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。

当然，这只是一个最为简单的例子。

在当时，真正让人大开眼界的则是euer文中给出的三元一次方程组：

x?y+z=

x?y+z=

x?y+z=

这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。

因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。

euer还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。

类似地，个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程就是方程和方程的差的多少多少倍，也有可能方程和的差恰是前三个方程的和。

究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？

euer承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。

此时大家或许能体会到，euer提出的这些遗留问题太具启性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。

包括crar在内的数学家们沿着euer的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。

没错，这个crar正是后来提出线性代数一大基本定理——crar法则——的那个人。

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