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第二十章 欧几里得算法(第1页)

欧几里得学生卡农对欧几里得说:“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数?”

欧几里得说:“用辗转相除法就可以,如果求a和b的最大公约数,如果a大于b,那就是a除以b,然后得到余数,然后再让除数b除以余数,然后一直让除数除以余数,最后余数为o的时候,得到的除数就是a和b的最大公约数。”

卡农说:“假如说和这两个数字。”

欧几里得说:“除以,等于余出。”

卡农说:“然后怎么求?”

欧几里得说:“除数除以余数,除以等于余”

卡农说:“然后除以等于余”

欧几里得接着说:“没错,然后除以,等于余”

卡农说:“除以,等于余”

欧几里得说:“除以,等于余o”

卡农说:“不能再往下了,余数已经为o,所以和的最大公约数为”

欧几里得说:“所以说,相当于没有最大公约数。”

在以上基础上,后来数学中展了环的概念,整环r是符合一下接个要求的:

、a关于加法成为一个abe群(其零元素记作o);

、乘法满足结合律:abc=abc;

、乘法对加法满足分配律:ab+c=ab+ac,a+bc=ac+bc;

如果环a还满足以下乘法交换律,则称为“交换环”:

、乘法交换律:ab=ba。

如果交换环a还满足以下两条件,就称为“整环”(tegradoa):

、a中存在非零的乘法单位元,即存在a中的一个元素,记作,满足:不等于o,且对任意a,有:ea=ae=a;

、ab=o=>a=o或b=o。

而后来也引入了欧几里得整环的概念,这是抽象代数中,这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。

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